при каких условиях можно построить треугольник
Построение треугольника по трем элементам
Задачи на построение
Широкое распространение в геометрии получили задачи на построение. Суть этих задач состоит в следующем: при заданных начальных условиях нужно построить тот или иной геометрический объект при помощи линейки и циркуля. Разберем общие принципы решения данных задач:
Анализирование задачи. На этом этапе необходимо установить взаимосвязь между заданными условиями и объектом, который нужно изобразить. Результатом выполнения этого этапа является план решения задачи.
Построение. Согласно разработанного плана выполняется построение объекта.
Доказательство. На этом этапе необходимо доказать, что изображенная фигура полностью соответствует заданным условиям.
Сложно разобраться самому?
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Изучение. На этом этапе выполняется анализ начальных условий и определение, при каких условиях задача решается одним способом, при каких двумя, а при каких – вовсе не решаема.
Разберем задачи на построение треугольника по трем различным начальным условиям.
Изображение треугольника, если задана одна сторона и два прилегающих к ней угла
2. Строим треугольник
3. Доказательство. По изображенному рисунку делаем вывод, что все заданные условия выполнены в полной мере.
Изображение треугольника, если заданы три стороны
2. Строим треугольник:
3. Доказательство. По изображенному рисунку делаем вывод, что все заданные условия выполнены в полной мере.
Не нашли что искали?
Просто напиши и мы поможем
4. Изучение. Построенные окружности имеют две точки пересечения, поэтому мы можем построить еще один треугольник, но так как он точно такой же, как и первый, можно считать, что решение этой задачи единственное. Учитывая то, что сумма двух сторон треугольника всегда больше, чем третья его сторона, можно сделать вывод, если это условие не будет выполнено для заданных сторон, то задача не будет иметь решение.
Изображение треугольника, если заданы две стороны и угол между ними
2. Строим треугольник:
3. Доказательство. По изображенному рисунку делаем вывод, что все заданные условия выполнены в полной мере.
Определить возможность существования треугольника по сторонам
Задача
Треугольник существует только тогда, когда сумма любых двух его сторон больше третьей.
Требуется сравнить длину каждого отрезка-стороны с суммой двух других. Если хотя бы в одном случае отрезок окажется больше суммы двух других, то треугольника с такими сторонами не существует.
Решение
Ниже приведены решения задачи на языке программирования Паскаль двумя способами. В первом случае все стороны проверяются в одном операторе if; во втором случае каждое условие проверяется отдельно, а программа содержит вложенные операторы if-else.
Программа 1 (предпочтительный способ решения):
В данном случае существование треугольника проверяется по-этапно. Если первое условие возвращает ложь, то программа переходит к последнему else. Если же первое условие соблюдено, то поток выполнения программы оказывается у вложенного if. Здесь проверяется уже второе условие. Если оно возвращает ложь, то программа переходит к предпоследнему else. Если и второе логическое выражение возвращает истину (true), то программа идет к третьему условию. При его соблюдении выполняется тело самого вложенного оператора if. При его несоблюдении сработает самое вложенное else.
Несмотря на то, что данная программа кажется длиннее, в определенных ситуациях она может выполняться быстрее, чем первая. Здесь если внешнее if возвращает ложь, то остальные логические выражения вообще не проверяются. В первой программе могут и проверяться (это зависит от особенностей языка программирования).
Построение треугольника по трем его сторонам
Задача:
Построить треугольник по трем его сторонам.
Дано: отрезки МК, ОЕ, FG.
Построить 
АВС так, что АВ = МК, ВС = FG, АС = ОЕ.
Решение:
С помощью линейки проводим прямую 
и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку МК. Для этого произвольно на прямой ставим точку А, с помощью циркуля измеряем отрезок МК и строим окружность с центром в точке А радиуса МК (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное красным цветом). Точку пересечения окружности с прямой обозначаем В.
Далее, с помощью циркуля измеряем отрезок ОЕ и строим окружность с центром в точке А радиуса ОЕ (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное синим цветом).
Далее, с помощью циркуля измеряем отрезок FG и строим окружность с центром в точке B радиуса FG (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное зеленым цветом).
Данная задача не всегда имеет решение. Так как для каждого треугольника должно выполняться неравенство треугольника, которое говорит о том, что во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны. Если же какой-нибудь из данных отрезков будет больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Задача «Треугольник»
Заданы длины трех отрезков a, b, c. Необходимо определить, можно ли из них составить треугольник. В случае утвердительного ответа определить его тип: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.
Вход. Три целых числа a, b, c – длины трех отрезков.
Выход. Строка, содержащая информацию о треугольнике: “ACUTE”, если он остроугольный, “RIGHT” если прямоугольный и “OBTUSE” если тупоугольный. Если из трех отрезков составить треугольник нельзя, то вывести “NONE”.
Из трех отрезков a, b, c можно составить треугольник, если выполняется неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон треугольника строго больше длины третьей.
Из теоремы Пифагора следует, что треугольник со сторонами a, b, c является прямоугольным, если выполняется одно из следующих равенств:
a 2 = b 2 + c 2 или b 2 = a 2 + c 2 или c 2 = a 2 + b 2
Треугольник будет остроугольным, если квадрат каждой стороны строго меньше суммы квадратов двух других сторон. То есть одновременно выполняется три неравенства:
Треугольник является тупоугольным, если существует такая сторона, квадрат которой строго больше суммы квадратов двух других сторон. То есть выполняется одно из трех неравенств:
a 2 > b 2 + c 2 или b 2 > a 2 + c 2 или c 2 > a 2 + b 2
if ((a >= b + c) or (b >= a + c) or (c >= a + b))
then res := ‘NONE’ else
if ((a*a = b*b + c*c) or (b*b = a*a + c*c) or (c*c = a*a + b*b))
then res := ‘RIGHT’ else
then res := ‘ACUTE’ else
Задача решена, но имеет один недостаток. При проверке типа треугольника приходится каждый раз проверять три условия: в каждом из условных операторов if стоит три выражения. Можно сделать так, что в каждом условном операторе будет стоять лишь одно условие. Подумайте, как это сделать?
Например, в языке Си, отсортировать три числа можно так:
Язык Паскаль вообще не имеет функций сортировки. Здесь, уже на элементарной задаче, мы столкнулись с бедностью языка Паскаль. Реализовать сортировку непосредственно операциями сравнения в этой задаче можно, так как число переменных не велико. Если бы их было больше – требовалось бы заводить массив и уже писать один из классических алгоритмов сортировки.
Если мы сможем эффективно отсортировать числа a, b, c, то программа примет вид:
if c >= a + b then res := ‘NONE’ else
if c*c = a*a + b*b then res := ‘RIGHT’ else
Построение треугольника по трем элементам в геометрии
Как построить треугольник по трем элементам в геометрии
Треугольник — геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не принадлежащих одной прямой, и трех отрезков, последовательно соединяющих данные точки.
В определении треугольника точки представляют собой вершины, а отрезки — являются его сторонами.
При определении расстояния от точки до прямой необходимо учитывать нескольких ключевых принципов:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Определить расстояние, на которое удалены друг от друга параллельные прямые, можно, исходя из того, что каждая из точек этих прямых равноудалена от другой параллельной прямой. Таким образом, расстояние между двумя параллельными прямыми соответствует длине перпендикуляра, который опущен из какой-либо точки, расположенной на одной прямой, на другую прямую.
При построении треугольника по трем элементам необходимо использовать следующие навыки:
Какие элементы могут быть для этого использованы
Смысл задачи на построение какой-либо геометрической фигуры заключается в том, что требуется с помощью линейки и циркуля построить тот или иной объект, согласно заданным исходным условиям. Общие принципы решения подобных заданий:
Построение треугольника по трем сторонам
Изобразить данную геометрическую фигуру с тремя углами можно по трем ее сторонам. Предположим, что существуют отрезки a, b, c, которые соответствуют сторонам искомого треугольника. По условиям задания требуется построить треугольник со сторонами, соответствующими рассматриваемым отрезкам.
В первую очередь следует доказать неравенство треугольника, то есть определить, что длина любого из отрезков меньше, чем сумма длин двух других отрезков. В случае удовлетворения этого условия допустимо, что рассматриваемые отрезки являются сторонами треугольника.
Исходя из признака равенства треугольников по трем сторонам, изображенный треугольник совпадает со всеми треугольниками, обладающими данными сторонами.
Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Предположим, что существуют два отрезка a и b, которые соответствуют сторонам треугольника. Также имеется угол 1, который равен углу треугольника, расположенного между его сторонами. Необходимо изобразить треугольник с элементами, аналогичными тем, что даны в условии.
Порядок действий при построении треугольника по двум сторонам и углу между ними следующий:
Исходя из признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, геометрическая фигура, построенная в соответствии с алгоритмом, равна всем треугольникам, которые обладают такими же элементами.
По известной стороне и двум прилежащим к ней углам
Построение треугольника по стороне и двум углам, которые к ней прилегают, начинается с изучения условий задания. Согласно задаче, имеется отрезок а и пара углов 1 и 2, которые равны углам треугольника, прилежащим к данной стороне. Требуется изобразить треугольник с элементами, аналогичными заданному отрезку и углам.
Действия необходимо выполнять в следующем порядке:
По признаку равенства треугольников по стороне и паре углов, которые прилегают к ней, изображенный треугольник равен всем треугольникам, имеющим данные элементы.
Как построить треугольник по трем элементам с помощью циркуля
Изобразить треугольник, зная три его элемента, можно с помощью циркуля. К примеру, имеется три стороны в виде отрезков МК, ОЕ, FG, по которым необходимо построить треугольник АВС. При этом должно соблюдаться условие:
АВ = МК, ВС = FG, АС = ОЕ
Используя линейку, следует провести прямую а. На данной прямой с помощью циркуля нужно отложить отрезок АВ, который соответствует отрезку МК. В процессе на прямой а можно отметить некую точку А. После измерения циркулем отрезка МК требуется изобразить окружность, центр которой совпадает с точкой А, а радиус равен МК. Строить окружность полностью нет необходимости, достаточно изобразить дугу, как показано на рисунке. Точку, в которой окружность пересекает прямую а можно обозначить, как В.
С помощью циркуля нужно измерить отрезок ОЕ и построить окружность, центр которой совпадает с точкой А, а радиус соответствует отрезку ОЕ. Дуга выделена на изображении синим цветом.
На следующем этапе, используя циркуль, можно измерить отрезок FG, чтобы построить окружность. Центр данной окружности совпадает с точкой В, а ее радиус соответствует отрезку FG. На рисунке дуга выделена зеленым цветом.
Точка, в которой пересекаются окружности с центрами А и В, радиусами ОЕ и FG, следует обозначить, как С. С помощью линейки удобно соединить точки А, В и С. В результате получилось построить геометрическую фигуру в виде треугольника АВС, в котором:
АВ = МК, ВС = FG, АС = ОЕ
Так как условия задания соблюдены, изображенный треугольник является искомым.
Важно отметить, что подобное задание не во всех случаях имеет решение. Причина заключается в необходимости выполнения неравенства треугольника для каждого треугольника, то есть в каком-либо треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны. В том случае, когда один отрезок из заданных условием больше или равен сумме двух других, построить треугольник со сторонами, соответствующими данным отрезкам, не представляется возможным.
Изобразить треугольник с помощью циркуля можно, когда известны две стороны и угол между ними. К примеру, существуют отрезки МК и ОЕ, а также угол hk. Необходимо построить треугольник АВС при условии, что:
АВ = МК, АС = ОЕ, ВАС = hk
Используя линейку, нужно провести прямую а и отложить на ней циркулем отрезок АВ, который соответствует отрезку МК. В данном случае необходимо в любой части прямой а поставить точку А. Далее с помощью циркуля можно измерить отрезок МК и построить окружность с центром в точке А и радиусом, равным МК. Точку, в которой окружность пересекает прямую, можно обозначить, как В. На рисунке дуга данной окружности выделена красным цветом.
На втором этапе требуется изобразить угол BAF, который соответствует углу hk. В процессе, используя циркуль, нужно построить окружность с радиусом МК и центром, который совпадает с вершиной угла hk. Допустимо изобразить лишь дугу этой окружности, которая на рисунке отмечена красным цветом. Точки, в которых окружность пересекает стороны угла hk, следует обозначить, как N и P.
Циркулем можно измерить длину отрезка NP и построить окружность с радиусом NP и центром в точке В. На изображении полученная дуга выделена синим цветом. Точкой F следует обозначить точку, в которой построенная окружность пересекает окружность с радиусом МК и центром в точке А.
Далее нужно построить луч AF, используя обычную линейку.
Затем с помощью циркуля удобно измерить отрезок ОЕ и построить с соответствующим радиусом окружность, центр которой совпадает с точкой А. На рисунке дуга этой окружности изображена зеленым цветом. Точка С является точкой, в которой пересекается окружность с лучом AF.
В конце следует соединить точки В и С с помощью линейки. В результате удалось построить треугольник АВС, в котором:
АВ = МК, АС = ОЕ, ВАС = hk
Таким образом, условия задания выполнены, и треугольник является искомым.
Следует заметить, что при любых МК и ОЕ и неразвернутом угле hk построение искомого треугольника возможно. Прямую а и точку А допустимо выбирать произвольно. Таким образом, имеется бесконечное множество треугольников, которые соответствуют условию задания. Все эти треугольники будут взаимно равны, исходя из первого признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). В связи с этим, можно заключить, что данная задача имеет единственное решение.
При построении треугольника по стороне и двум углам, которые к ней прилегают, можно воспользоваться линейкой и циркулем.
К примеру, по условию задачи имеется отрезок МК, а также пара углов 1 и 2. Требуется изобразить такой треугольник АВС, в котором:
АВ = МК, ВАС = 1, АВС = 2
Решение задачи следует начинать с построения прямой а при помощи обычной линейки. Используя циркуль, можно отметить на этой прямой отрезок АВ, который совпадает по длине с отрезком МК. На прямой а нужно поставить точку А. После измерения циркулем отрезка МК требуется изобразить окружность, центр которой совпадает с точкой А, а радиус равен МК. Окружность не обязательно строить полностью, достаточно дуги, представленной на рисунке красным цветом. Точка В будет обозначать точку пересечения окружности и прямой а.
Второй шаг заключается в построении угла BAF, который идентичен углу 1. При этом, используя циркуль, следует изобразить окружность с радиусом МК и центром, совпадающим с вершиной угла 1. На изображении дуга показана красным цветом. Точки, в которых пересекаются окружность и стороны угла 1, можно обозначить за N и P.
Циркулем удобно измерить длину отрезка NP. Далее остается построить окружность с радиусом, соответствующим данному отрезку, и центром в точке В. На изображении такая окружность выделена синим цветом. Точкой F можно обозначить точку, в которой пересекается окружность радиуса NP с окружностью радиуса МК с центром в точке А.
Затем необходимо построить луч АF, используя линейку.
На следующем шаге можно изобразить угол АВD, который соответствует углу 2. В процессе следует, применяя циркуль, начертить окружность с радиусом МК и центром, который соответствует вершине угла 2. На рисунке дуга данной окружности обозначена красным цветом. Точки О и Е соответствуют местам пересечений построенной окружности со сторонами угла 2.
Затем нужно циркулем построить окружность с радиусом МК и центром в точке В, которая отмечена красным цветом на изображении. Далее необходимо определить, какова длина отрезка ОЕ, и построить окружность с соответствующим радиусом и центром в точке А. На рисунке дуга этой окружности выделена синим цветом. Точка D является точкой, в которой пересекаются построенные окружности.
С помощью линейки нужно отметить луч BD.
Точку, в которой пересекаются лучи AF и BD, можно обозначить С. В результате построен треугольник АВС, который соответствует следующим условиям:
АВ = МК, ВАС = 1, АВС = 2
Можно сделать вывод, что изображенный треугольник является искомым.
Рассмотренный пример не во всех случаях будет иметь решение. К примеру, согласно теореме о сумме углов треугольника: сумма углов любого треугольника составляет 180 градусов. Следовательно, два угла по условию в сумме должны быть меньше, чем 180 градусов. В противном случае, нельзя построить треугольник, углы которого равнялись бы данным углам.
Решение задач на построение треугольника по трем элементам
Существует некая сторона треугольника ВС, к которой прилегают углы \alpha и \beta. Необходимо построить треугольник по трем известным элементам.
Пусть углы треугольника АВС соответствуют следующему условию:
Можно составить план действий, согласно стандартному алгоритму:
В процессе доказательства следует рассмотреть изображение треугольника. Можно прийти к выводу, что условия задачи выполнены. Заданные углы могут быть построены и в противоположную сторону, соответственно можно изобразить второй треугольник. Однако, так как он аналогичен первому, можно заключить, что задача имеет единственное решение. В том случае, когда углы \alpha и \beta равны или больше, чем 180 градусов, задача не имеет решения.
Даны три стороны треугольника АВ, АС и ВС. Необходимо построить треугольник.
В процессе анализа условий задания можно составить план решения:
Полученная геометрическая фигура соответствует условиям задачи. Изображенные окружности обладают двумя точками пересечения, что позволяет построить еще один треугольник. Он будет аналогичен первому, поэтому у задачи есть одно единственное решение. С учетом того, что сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей его стороны, можно заключить следующее: при невыполнении данного условия для заданных сторон задача не будет иметь решение.
У треугольника имеется две стороны АВ и АС, а также угол \alpha между ними. Требуется изобразить треугольник.
Порядок действий следующий:
В результате получится треугольник:
Согласно изображенной геометрической фигуре, можно сделать вывод о выполнении условий задания. Прямая а является бесконечной. По этой причине можно начертить множество подобных треугольников. Исходя из того, что все они будут одинаковы, сделаем вывод о единственном решении задачи. В том случае, когда угол \alpha будет равен или больше 180 градусов, у задания не будет ответа, так как сумма всех углов треугольника должна составлять 180 градусов.