площадь каких треугольников можно вычислить по формуле a23 4
Как найти площадь треугольника
Основные понятия
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилось из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Если параметры переданы в разных единицах длины, мы не сможем узнать какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения
Формула площади треугольника
Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.
Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.
Общая формула
1. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними.
2. Площадь треугольника через основание и высоту.
S = 0,5 * a * h, где a — основание, h — высота.
3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны.
S = (a * b * c) : (4 * R), где a, b, c — стороны, R — радиус описанной окружности.
4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны.
S = r * (a + b + c) : 2, где a, b, c — стороны, r — радиус вписанной окружности.
Если учитывать, что (a + b + c) : 2 — это способ поиска полупериметра. Тогда формулу можно записать следующим образом:
S = r * p, где p — полупериметр.
5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам.
S = a 2 : 2 * (sin(α)⋅sin(β)) : sin(180 — (α + β)), где a — сторона, α и β — прилежащие углы, γ — противолежащий угол.
6. Формула Герона для вычисления площади треугольника.
Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.
S = √ p * (p − a) * (p − b) * (p − c), где a, b, c — стороны, p — полупериметр, который можно найти по формуле: p = (a + b + c) : 2
Для прямоугольного треугольника
Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам.
S = 0,5 * a * b, где a, b — стороны.
Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу.
S = 0,25 * c 2 * sin(2α), где c — гипотенуза, α — любой из прилегающих острых углов.
Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.
Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу.
S = 0,5 * a 2 * tg(α), где a — катет, α — прилежащий угол.
Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.
Площадь треугольника через гипотенузу и по радиусу вписанной окружности.
S = r * (r + c), где c — гипотенуза, r — радиус вписанной окружности.
Площадь треугольника вписанного в окружность.
Площадь прямого треугольника по формуле Герона.
S = (p − a) * (p − b), где a, b — катеты, p — полупериметр, который рассчитывается по формуле p = (a + b + c) : 2.
Для равнобедренного треугольника
Поиск площади через основание и сторону.
Вычисление площади через основание и угол.
S = 0,5 * a * b * sin(α), где a — боковая сторона, b — основание, α — угол между основанием и стороной.
Вычисление площади через основание и высоту.
S = 0,5 * b * h, где b — основание, h — высота, проведенная к основанию.
Поиск площади через боковые стороны и угол между ними.
S = 0,5 * a 2 * sin(α), где a — боковая сторона, α — угол между боковыми сторонами.
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами.
S = b 2 : (4 * tgα/2), где b — основание, α — угол между боковыми сторонами.
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности.
S = (3 * √ 3 * R 2 ) : 4, где R — радиус описанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через сторону.
S = (√ 3 * a 2 ) : 4, где a — сторона.
Площадь равностороннего треугольника через высоту.
S = h 2 : √ 3, где h — высота.
Таблица формул нахождения площади треугольника
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Записаться на марафон
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Площадь каких треугольников можно вычислить по формуле a23 4
В трапеции ABCD известно, что AD=8, BC=2, а её площадь равна 35. Найдите площадь треугольника ABC.
Пусть длина высоты трапеции равна 
Площадь трапеции можно найти как произведение полусуммы оснований на высоту:
Высота трапеции также является высотой треугольника 
Найдём площадь треугольника 
как полупроизведение основания на высоту:
В трапеции ABCD известно, что AD=6, BC=3, а её площадь равна 27. Найдите площадь треугольника ABC.
Пусть длина высоты трапеции равна Площадь трапеции можно найти как произведение полусуммы оснований на высоту:
Высота трапеции также является высотой треугольника Найдём площадь треугольника как полупроизведение основания на высоту:
В трапеции ABCD известно, что AD=5, BC=4, а её площадь равна 81. Найдите площадь треугольника ABC.
Пусть длина высоты трапеции равна Площадь трапеции можно найти как произведение полусуммы оснований на высоту:
Высота трапеции также является высотой треугольника Найдём площадь треугольника как полупроизведение основания на высоту:
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание — 
, а угол, лежащий напротив основания, равен 30°. Найдите площадь треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними:
Площадь треугольника можно было найти по формуле Герона.
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание — 
, а угол, лежащий напротив основания, равен 45°. Найдите площадь треугольника, деленную на 
Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними:
Площадь треугольника можно было найти по формуле Герона.
В открытом банке иррациональный ответ.
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание — 
, а угол, лежащий напротив основания, равен 120°. Найдите площадь треугольника, деленную на 
Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними:
Площадь треугольника можно было найти по формуле Герона.
В открытом банке иррациональный ответ.
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание — 
, а угол, лежащий напротив основания, равен 135°. Найдите площадь треугольника, деленную на
Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними:
Площадь треугольника можно было найти по формуле Герона.
В открытом банке иррациональный ответ.
Площадь треугольника 
можно вычислить по формуле 
, где 
— сторона треугольника, 
— высота, проведенная к этой стороне (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите сторону 
, если площадь треугольника равна 
, а высота равна 14 м.
Выразим сторону из формулы площади треугольника: