по правилу треугольника можно вычислить определитель

Методы вычисления определителей

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Методы вычисления определителей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:

Решение.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)=54$$

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

Теорема Лапласа

Источник

Как вычислить определитель?

В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы. Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей, он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!

Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.

Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы (более подробно см. Действия с матрицами)

На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: .

Определитель четвертого порядка тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.

Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!

(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)

Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!

Обозначения: Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .

1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.

2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.

Начнем с определителя «два» на «два»:

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.

Сразу рассмотрим пример:

Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

Начнем с двух простых способов

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя

Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.

Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу.
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.

В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке.
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.

Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:

И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
?

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ. Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке, очевидно, что всё вращается вокруг неё:

Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:

В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу:

А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.

Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Нахождение определителя матрицы 3 порядка

Определитель матрицы 3 порядка, описание

Детерминант или определитель матрицы третьего порядка вида \(A=\begina_<11>&a_<12>&a_<13>\\a_<21>&a_<22>&a_<23>\\a_<31>&a_<32>&a_<33>\end\) является сопоставляемое с ним число

Для обозначения данной величины используют символы: |А|, Δ, det A.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Правила для нахождения

Для вычисления детерминанта матрицы 3×3 не нужно заучивать формулу. Данное число можно найти с помощью двух способов:

Нахождение методом треугольника

Правило основывается на том, что произведение диагональных составляющих и произведения вершин двух треугольников уменьшаемой матрицы суммируются. Произведение диагональных элементов и произведения вершин треугольников в вычитаемой матрице записываются со знаком минус.

Схематическое изображение рассматриваемого правила выглядит так:

По схеме можно восстановить формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка, которая приведена в определении детерминанта:

Пример

Найти определитель матрицы:

Решение

Метод Саррюса

Для нахождения определителя матрицы 3×3 необходимо соблюсти условия в следующей последовательности:

Вычисление определителя матрицы по рассматриваемому правилу схематически можно изобразить так:

Пример

Рассчитать по методу Сюрраса детерминант матрицы

Источник

Определитель матрицы и его вычисление

Вы будете перенаправлены на Автор24

В зависимости от порядка матрицы различают несколько способов вычисления определителя.

Определитель матрицы 2-го порядка можно вычислить по формуле:

Для нахождения определителя матрицы 3-го порядка можно использовать одно из двух правил:

Определитель матрицы 3-го порядка с помощью правила треугольника вычисляется по формуле:

Для лучшего запоминания правила треугольника можно пользоваться следующей схемой:

Для вычисления определителя по правилу Саррюса необходимо выполнить следующие действия:

Для лучшего запоминания правила треугольника можно пользоваться следующей схемой:

Готовые работы на аналогичную тему

Для вычисления определителя матрицы 4-го порядка и выше можно использовать один из двух способов:

Разложение определителя матрицы по элементам строки в общем виде можно записать по формуле:

\[\det A=a_ \cdot A_ +a_ \cdot A_ +. +a_ \cdot A_ \]

Разложение определителя матрицы по элементам столбца в общем виде можно записать по формуле:

\[\det A=a_ <1j>\cdot A_ <1j>+a_ <2j>\cdot A_ <2j>+. +a_ \cdot A_ \]

При разложении определителя по элементам строки (столбца) желательно выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

Определитель матрицы, содержащей нулевую строку, равен нулю.

Определитель матрицы, содержащей нулевой столбец, равен нулю.

Источник

Определитель матрицы свойства, методы и способы вычисления, разложение определителя по элементам строки или столбца, определитель матрицы методом Гаусса

В линейной алгебре важным понятием является определитель матрицы. Он используется для записи систем уравнений. Практически это таблица, заполненная числами. Так как математика строится на грамотной и последовательной системе определений, то для успешного решения задач нужно не только знать определители, но и разбираться в их характеристиках.

Понятие и термины

Кроме математики, матрицы нашли широкое применение в физике и других прикладных науках. Используются они и в программировании, где их называют массивами. Большинство экономических моделей также описывается достаточно простой и компактной матричной формой.

Матрица состоит из столбцов (n) и строк (m). Характеризуется она порядком и размерностью. Обычно говорят, что некий массив В имеет размер m на n. Записывают это как В = . Существует и другой вариант записи: В = (аij), где i и j – индексы, при этом 1≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n. В учебниках же просто указывается разрядность в виде 2х2, 3х3 и так далее. Матрица называется квадратной, если количество её строк равно величине столбцов.

Строки и столбцы начинают нумеровать сверху и с левой стороны. Если элементы массива равны нулю, то матрицу называют нулевой. Существует понятие главной диагонали. Располагается она сверху вниз слева. Расположенные на ней элементы называют диагональными. Когда они равны одному, а все остальные члены нулю, массив считается единичным.

Главной характеристикой массива является определитель, или детерминант. Им называют число, соответствующее алгебраической сумме всех возможных произведений столбцов на строки. Другими словами, чтобы найти значение детерминанта, нужно сумму элементов матрицы n умножить на её размерность m. При перемножении знак произведения определяется по числу инверсий. Их чётное количество соответствует положительному знаку, а нечётное – отрицательному.

С матрицами можно выполнять любые арифметические действия и даже возводить в степень. Определитель вычисляется только в квадратной матрице, то есть в той, у которой число строк равно числу столбцов. Расчёт проводится с использованием специальных операций. Нахождение определителя построено на использовании ряда аксиом, дающих возможность вычислить характеристику матрицы любого порядка.

Параметры определителя

Использование свойств определителей даёт возможность сделать процедуру их вычисления проще. Если взять множество натуральных чисел, записанных в порядке возрастания, K = <1, 2, 3, 4, …, n>, то с ними можно выполнить две операции: перестановку и транспозицию.

Под первой понимается упорядочение множеству чисел другой последовательности. Например, <1, 2, 3, 4>— <1, 4, 3, 2>. То есть <1, 2, 3, 4, …, n>— . Если же в последовательности изменяются только две позиции, а остальные остаются на своих местах, то такую операцию называют транспозицией <1, 2, 3, 4>— <1, 3, 2, 4>. Когда при перестановке нарушается порядок расположения, то множество содержит инверсию kj > ki (j Нахождение значения

Для того чтобы понять, как находить детерминант матрицы, следует понять способы решения простых матриц 2х2 и 3х3. Умея находить их параметр, несложно будет определить детерминант и массив более высокого порядка. В математике матрицу принято записывать в круглых скобках, а определитель в прямых. Обозначают детерминант в формулах как det.

Если дана матрица второго порядка, то есть 2х2, то её определитель ищут по формуле: det = ab – dc, где: а и d – элементы первой строки, b и c – члены второй строки. То есть определитель находят как разность произведений диагональных элементов между собой. Например, пусть задана матрица:

Её параметр будет равняться: det = 13 * 11 – 9 * 1 = 143 – 9 = 134.

Пусть дана некая матрица три на три:

Необходимо найти её определитель. Для массива 3х3 детерминант можно найти двумя способами:

Схематично первый способ можно представить следующим образом:

Для нахождения детерминанта по правилу треугольника нужно перемножить элементы массива, соединённые красными линиями, а затем их сложить. То же самое необходимо сделать с элементами, через которые проходит синяя линия. Затем из первого полученного значения вычесть второе. Вычитаемое и уменьшаемое состоит из трёх слагаемых. Определяются они двумя треугольниками и сумой элементов, стоящих на главной диагонали (сплошная линия).

Второй способ проще. В его основе лежит метод разложения дискриминанта по первой строке или столбцу. То есть определитель можно найти по следующей формуле: det = a * n1 + b * n2 + c * n3, где: n1 — матрица 2х2, образованная с верхней левой части массива; n2 – матрица, полученная из второго и третьего члена первого столбца и третьего; n3 – массив, образованный из второго и третьего элемента первого столбца и третьего; a, b, c – элементы первой строчки.

Детерминант четвёртого порядка

Более сложной матрицей считается квадрат размером 4х4. Для подсчёта определителя нужно использовать универсальный способ нахождения детерминанта массива 3х3. То есть понадобится раскрыть первую строку и найти минор. Первый элемент в строке умножают на матрицу, образованную квадратом, начинающегося со второго члена следующего от него столбца.

Затем вычитают произведение второго элемента на алгебраическое дополнение, полученное путём вычёркивания первой строки и второго столбца. Далее, прибавляют третий элемент в первой строке и умножают на дополнение этого элемента. На последнем этапе вычитают четвёртый элемент верхней строки, умноженный на соответствующую ему дополнительную матрицу.

Теперь находят дискриминанты полученных матриц 3х3. Важно помнить, что знаки, стоящие перед алгебраическим дополнением, меняются. Если первый член имеет плюс, то перед вторым элементом ставится минус, перед третьим снова плюс и так далее.

Например, для поиска определителя квадрата 6х6, нужно будет предварительно разложить систему по первой строке на массив низшего порядка 5х5, найти определитель матрицы 4х4, 3х3 и 2х2. Делая всё последовательно блочным методом, допустить ошибку практически невозможно. Если необходимо найти детерминант массивов десятого порядка и выше, то целесообразно находить определитель матрицы на онлайн-калькуляторе.

Стоит напомнить, что детерминант можно найти только для квадратного выражения в прямоугольной матрице. Правило нахождения определителя n порядка было предложено Лапласом. Он доказал и сформулировал теорему, гласящую о том, что величина определителей высшего порядка находится как сумма произведений частей какой-либо строки или столбца на принадлежащее им алгебраическое дополнение.

То есть выполняется разложение определителя по n строке или m столбцу.

Метод Гаусса

Способ Гаусса используется для решения системы уравнений. На их базе составляется массив. Первые столбцы образуют из коэффициентов, стоящих после неизвестных, а последний из значений, расположенных после знака равно. Для нахождения определителя этим способом необходимо выполнить два шага:

Например, необходимо найти детерминант системы уравнений:

n1 + 2 * n2 – 3 * n3 = — 4.

2*n1 + 5 * n2 – 4 * n3 = 0.

Опираясь на полученную матрицу, составляют новую систему уравнений:

Найти детерминант небольшого ранга несложно. Но существуют задания, для решения которых нужно не только проявить внимание, но и потратить много времени. Для таких случаев существуют калькуляторы, помогающие выполнить вычисление определителя матрицы онлайн.

Кроме быстрого определения ответа, они также показывают подробное решение поставленной задачи. Если же доступа к интернету нет, то можно выполнить расчёт и в excel. Делается это с помощью функции «=МОПРЕД».

Источник