построить сечение многогранника плоскостью можно двумя методами способом граней и способом
ИНТЕРАКТИВНЫЕ МОДЕЛИ В ОБУЧЕНИИ
Пример: модели МК в электронном учебнике
Сечения многогранников
ТЕОРИЯ
В этом разделе мы рассмотрим методы построения сечений многогранников. Плоскость сечения, как правило, будет задаваться тремя точками – K, L, M. Сложность такой задачи во многом определяется расположением точек, задающих плоскость сечения.
Пример 1
Самый простой случай – когда точки лежат на трёх смежных рёбрах пирамиды – не нуждается в разборе.
Основной метод, который используется при построении сечений, называется методом следов.
Следом называется прямая, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой из граней многогранника. Если такой след найден, то точки его пересечения с соответствующими рёбрами многогранника и будут вершинами искомого сечения.
Пример 2
Пусть теперь точки K и M лежат на боковых рёбрах пирамиды, а точка L – на стороне основания.
Пример 3
Использованный на первом шаге построения приём часто называют методом вспомогательных плоскостей. Рассмотрим ещё один пример, где он используется.
Пример 4
Рассмотрим теперь самый общий случай, когда все три точки K, L и M лежат на гранях пирамиды.
С помощью метода вспомогательных плоскостей можно строить сечения, «не выходя» за пределы многогранника. Вернёмся в связи с этим к примеру 2.
Пример 2’
Точки K и M лежат на боковых рёбрах пирамиды, а точка L – на стороне основания. Построим сечение, «не выходя» за пределы многогранника.
Можно использовать ту же самую идею иначе. Проведём в начале анализ построенного сечения – т.е. начнём с конца. Допустим, что по точкам K, L и M построено сечение KLMN.
Обозначим через F точку пересечения диагоналей четырёхугольника KLMN. Проведём прямую CF и обозначим через F1 точку её пересечения с гранью SAB. С другой стороны, точка F1 совпадает с точкой пересечения прямых KB и MA, исходя из чего её и можно построить.
Использованный в этом решении приём называют методом внутреннего проектирования. Построим с его помощью сечение из примера 4, когда все три точки лежат на гранях пирамиды.
Пример 3’
Точки K, L и M лежат на гранях пирамиды. Построим сечение, «не выходя» за пределы многогранника.
Допустим, что сечение уже построено.
Пусть плоскость сечения пересекает ребро CB в точке P. Обозначим через F точку пересечения KM и LP. Построим центральные проекции точек K, F и M из точки C на плоскость SAB и обозначим их K1, F1 и M1. Точки K1 и M1 легко находятся, а точку F1 можно получить как точку пересечения K1M1 и LB.
УПРАЖНЕНИЯ
Более сложные упражнения помечены звёздочкой.
1. Постройте сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки K, L и M (см. модели).
 a |  b |  c |  d |
2. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки K, L и M (см. модели).
 a |  b |  c |
 d |  e |
3. На рёбрах пирамиды SABC отмечены точки K, L и M. Постройте:
 (a) прямую, по которой пересекаются плоскости CSK и MLA; | (b) точку пересечения плоскостей ACM, CSK и ASL; | (c) точку пересечения плоскостей AML, CKM и SKL. |
4*. На рёбрах пирамиды SABC отмечены точки K, L, M, P, N и Q. Постройте:
 (a) прямую, по которой пересекаются плоскости KLM и PNQ; | (b) точку пересечения плоскостей ALM, CNP и SKQ. |
5*. На ребре AB треугольной пирамиды SABC отмечена точка K. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной BC и SA.
6*. На рёбрах AB и CS треугольной пирамиды SABC отмечены точки K и M. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки K и M и параллельной AS.
7*. Постройте сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки K, L и M, лежащих в плоскостях её боковых граней (но не на самих гранях!).
8*. На плоскости проведены три луча с общим началом – a, b и с – и отмечены три точки – A, B и C. Постройте треугольник, вершины которого лежат на этих лучах, а стороны проходят через точки A, B и C.
Построить сечение многогранника плоскостью можно двумя методами способом граней и способом
Правила построения сечений многогранников:
1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;
2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого
а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);
б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.
Примеры построения сечений:
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.
Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.
Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.
Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.
X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.
Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.
Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD1C1C:
пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD1, они лежат в одной плоскости AA1D1D, получим точку X2;
пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D1C1, они лежат в одной плоскости A1B1C1D1, получим точку X3;
Рассмотрим ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.
.
Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.
.
Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.
.
Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.
.
Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.
X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.
.
Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.
.
Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM ( они лежат в параллельных плоскостях).
.
Соединим точки P и L ( они лежат в одной плоскости).
.
Построить сечение многогранника плоскостью можно двумя методами способом граней и способом
Секущей плоскостью многогранника называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.
Тетраэдр имеет четыре грани, поэтому его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники (рис. 1). Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники (рис. 2).
Теоремы, используемые при построении сечений
Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Поэтому секущая плоскость пересекает плоскости параллельных граней по параллельным прямым.
Теорема 2. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Теорема 3. Если прямая l параллельна какой либо прямой m, проведённой в плоскости 
то она параллельна и самой плоскости 
Теорема 4. Если прямая, лежащая в плоскости сечения, не параллельна плоскости некоторой грани, то она пересекается со своей проекцией на эту грань.
Алгоритм построения сечений
Для построения сечений рекомендуем пользоваться следующим алгоритмом.
1. Если две точки секущей плоскости лежат в плоскости одной грани, то проводим через них прямую. Часть прямой, лежащая в плоскости грани — сторона сечения.
2. Если прямая a является общей прямой секущей плоскости и плоскости какой-либо грани, то находим точки пересечения прямой a с прямыми, содержащими ребра этой грани. Полученные точки — новые точки секущей плоскости, лежащие в плоскостях граней.
3. Если никакие две из данных точек не лежат в плоскости одной грани, то строим вспомогательное сечение, содержащее любые две данные точки, а затем выполняем шаги 1, 2.
Для контроля правильности построенного сечения, проверяйте, что:
– все вершины сечения лежат на рёбрах многогранника;
– все стороны сечения лежат в гранях многогранника;
– в каждой грани многогранника лежит не более одной стороны сечения.
Памятка по построению сечений многогранников
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Четвертухина Наталия Константиновна
учитель математики МБОУ СОШ №50 г. Белгорода
Методы построения сечений многогранников
Сечение выпуклого многогранника – есть выпуклый многоугольник. Его вершины в общем случае являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а стороны – отрезками, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.
Задачи на сечения многогранника плоскостью обычно состоят в том, чтобы поострить параллельную проекцию сечения, имея параллельную проекцию самого многогранника и условия, которыми задается секущая плоскость, и вычислить площадь полученного сечения или отношение, в котором секущая плоскость делит объем многогранника. Решение каждой из двух частей такой задачи должно быть убедительно обосновано.
При построении сечения многогранника плоскостью, независимо от применяемого при этом метода, приходится решать две элементарные задачи :
1. Строить точку пересечения прямой (ребра многогранника) секущей плоскостью.
2. Строить линию пересечения двух плоскостей (секущей плоскости и плоскости грани).
Определение. Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью. 
Секущая плоскость α может быть задана: тре мя точками, не лежащими на одной прямой; пря мой и не принадлежащей ей точкой; другими ус ловиями, определяющими ее положение относи тельно данного Рис. 3
2. Специальные методы построения сечений
2.1. Метод следов
Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. Чтобы построить след, достаточно знать две его точки, т. е. точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости рассматриваемой грани.
Основные правила построения сечений методом следа:
Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти три точки.
Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определенной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью (точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани)
Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость основания.
То есть, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.
Для тех, кто знаком с гомологией, удобно ее применять при нахождении образов точек нижнего основания фигуры F – изображения фигуры. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения.
В дальнейшем будем допускать вольность речи и говорить «строим сечение» вместо «строим изображение сечения».
2.2. Метод внутреннего проектирования в построении плоских сечений многогранников.
В некоторых учебных пособиях метод построения сечений многогранников, который мы сейчас будем рассматривать, называют методом внутреннего проектирования или методом соответствий, или методом диагональных сечений. Мы примем первое название.
Построим точку пересечения секущей плоскости с ребром Р D данной пирамиды.
Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения такова:
1. К = А D ∩ ЕС; 2. К 1 = РК ∩ RF ;
3. Q = МК 1 ∩ Р D; 4. H = BE ∩ А D;
5. Н 1 = РН ∩ М Q ; 6. N = R Н 1 ∩ РВ.
Пятиугольник MNFQR — искомое сечение (рис. 26, и).
Динамика построения этого сечения пирамиды проиллюстрирована на рис. 26.
«Построение сечений многогранников» ( геометрия 10 класс)
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Выбранный для просмотра документ МОУ Коммунарская СОШ.ppt
Описание презентации по отдельным слайдам:
ГБОУ СОШ п. Коммунарский Урок-презентация.
Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника. Для построения сечения многогранника плоскостью нужно в плоскости каждой грани указать 2 точки, принадлежащие сечению, соединить их прямой и найти точки пересечения этой прямой с ребрами многогранника.
А В С D А1 D1 С1 B1 N H K Простейшие задачи. 1 2
О А В С D Простейшие задачи. 3 4 О А В С D
А В С D А1 D1 С1 B1 Диагональные сечения. 5 6
Р Проведем исследование с треугольной пирамидой. Р О М А В С D F Треугольник Четырехугольник X
Проведем исследование с четырехугольной пирамидой. Р О Т А В С М D Четырехугольник Треугольник
О Т А В С S D Проведем исследование с четырехугольной пирамидой. X Р М X Пятиугольник
А В С D А1 D1 С1 N H K F X Треугольник Четырехугольник Проведем исследование с параллелепипедом. B1
K А В С D А1 D1 С1 B1 N H О T Пятиугольник Проведем исследование с параллелепипедом. Z Y
А В С А1 D1 С1 B1 S D T К N M Q Шестиугольник Проведем исследование с параллелепипедом. Z X Y
А В С D А1 D1 С1 B1 N H О 7 K
А В С А1 D1 С1 B1 М D Постройте сечение параллелепипеда плоскостью МNК. N К О R 8
О 9 Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через т.М параллельно: а) грани ВВ1С1С; б) плоскости основания АВСD; в) изобразите отрезок, по которому эти сечения пересекаются. Дан наклонный параллелепипед АВСDА1В1С1D1 Отметьте внутреннюю точку M грани АА1В1В.
А В С А1 D1 С1 B1 D Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через т.М параллельно: г) плоскости ВDD1 М 9 Отметьте внутреннюю точку M грани АА1В1В.
K А В С D А1 D1 С1 B1 H Блиц-опрос. Верите ли вы, что прямые НК и ВВ1 пересекаются?
А В С D А1 D1 С1 B1 N К Н Блиц-опрос. Верите ли вы, что прямые НК и ВВ1 пересекаются?
А В С D А1 D1 С1 B1 Верите ли вы, что прямые НК и МР пересекаются? N Р Н К М Блиц-опрос. На чертеже есть ещё ошибка!
А В С D А1 D1 С1 B1 Верите ли вы, что прямые НR и NK пересекаются? N Н К Блиц-опрос. R На чертеже есть ещё ошибка!
А В С D А1 D1 С1 B1 Пересекаются ли прямые НR и А1В1? N Н К Блиц-опрос. R Пересекаются ли прямые НR и С1D1? Пересекаются ли прямые NK и DC? Пересекаются ли прямые NK и АD?
О М А В С D Верите ли вы, что прямые МО и АС пересекаются? Блиц-опрос. Верите ли вы, что прямые МО и АВ пересекаются?
а А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Некоторые художники любят нарушать эту аксиому.
Многие художники, искажая законы перспективы, рисуют необычные картины. Кстати, эти рисунки очень популярны среди математиков. В сети Internet можно найти множество сайтов, где публикуются эти невозможные объекты. Популярные художники Морис Эшер, Оскар Реутерсвард, Жос де Мей и другие, удивляли своими картинами математиков. http://lib.world-mobile.net/culture/special/imp/imp-world-r.narod.ru/art/index.html http://www.im-possible.info/english/art/mey/mey2.html http://alone.sammit.kiev.ua/moremind/illusion/index.html Это интересно!
Жос де Мей «Такое может нарисовать только тот, кто делает дизайн, не зная перспективы. «
Законы геометрии часто нарушаются в компьютерных играх. Поднимаясь по этой лесенке, мы остаёмся на том же этаже. Лесенки здесь быть не может! а А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
K А В С D А1 D1 С1 N H О Вернемся к задаче 7 B1 Метод следов X
Задание с ошибкой. К М N А В С D R X 10
K А В С D А1 D1 С1 B1 N H О Z 11 Y X
А В С А1 D1 С1 B1 S D T К N M Q 12 X Y Z
Р О Т А В С S D К М 13 X
А D С А1 B1 С1 D1 B Е а P 14 Y К R Q
Выбранный для просмотра документ ПРИМЕНЕНИЕ МУЛЬТИМЕДИЙНЫХ ПРЕЗЕНТАЦИЙ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ.doc
ПРИМЕНЕНИЕ МУЛЬТИМЕДИЙНЫХ ПРЕЗЕНТАЦИЙ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ.
развивать пространственное воображение учащихся, образное мышление;
развивать логическое мышление учащихся;
формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;
совершенствовать графическую культуру.
Презентационное сопровождение я применяю на различных этапах урока: на этапе актуализации знаний, при изложении нового материала, закреплении, контроле, проверке домашнего задания.
В курсе стереометрии 10 класса компьютер помогает обучающимся, привыкшим воспринимать только плоские чертежи, перекинуть мостик в пространственный мир. Чертежи, представленные на слайдах с использованием цвета, делают чертеж более информативным.
Статические, т.е. «не живые» чертежи из учебника в презентации можно «оживить». Применяя инструментарий программы, мы можем статический чертеж из учебника анимировать. Динамический чертеж показывает последовательные шаги решения, выполнение дополнительных построений. Продуманные визуальные подсказки сделают учебный материал доступным для понимания большему числу обучающихся.
Я работаю в классе с интерактивной доской, но управлять презентацией лучше с пультом и одновременно индивидуально работать с обучающимися. Это очень важно: учитель «не привязан» к доске, у него появляется дополнительное время для индивидуальной работы на уроке. Чертежи в тетрадях обучающихся улучшились.
Использование анимации на слайдах, способствует развитию пространственного воображения, образного мышления. Как часто мы просим детей «Представьте себе…», «Наложим мысленно треугольник…», а если ребенок не может представить, не может мысленно наложить треугольник. Вот и придет на помощь этому ученику компьютер.
Для меня было важно провести сопоставительный анализ различных форм предъявления мультимедиа на современном уроке . Поэтому я апробировала различные алгоритмы применения презентаций на уроке. Мультимедийная составляющая не должна представлять собой лишь набор иллюстраций и использоваться на уроке только в качестве наглядности. Я применяю различные варианты работы над определениями, теоремами, задачами. Презентационный материал составляю как путеводитель-проводник в мир знаний, которые дети могут добывать самостоятельно. Ученик должен быть не пассивным наблюдателем, а активным участником процесса обучения. Для этого напечатаны рабочие тетради каждому ученику.
Используя учебные динамические слайды (модули), можно увеличить объем представляемой визуальной информации на уроке, сделать экскурс в историю математики, представить информацию, расширяющую кругозор обучающихся.
Повысить уровень профессиональной ИКТ-компетентности, учиться и побудить себя к творчеству мне помог Интернет. Скачивая готовые ресурсы педагогов можно, многое почерпнуть для себя. Совершенно очевидно, что создать презентации по математике значительно сложнее, чем по любому другому предмету. Ведь для создания чертежа необходимо хорошо владеть инструментами панели рисования, анимировать чертежи.