7. Элементы алгебры логики. Высказывание

Алгебра в широком смысле этого слова — наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над разнообразными математическими объектами. Многие математические объекты (целые и рациональные числа, многочлены, векторы, множества) вы изучаете в школьном курсе алгебры, где знакомитесь с такими разделами математики, как алгебра чисел, алгебра многочленов, алгебра множеств и т. д.

Для информатики важен раздел математики, называемый алгеброй логики; объектами алгебры логики являются высказывания.

Высказывание — это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.

Например, относительно предложений «Великий русский учёный М. В. Ломоносов родился в 1711 году» и «Two plus six is eight» можно однозначно сказать, что они истинны. Предложение «Зимой воробьи впадают в спячку» ложно. Следовательно, эти предложения являются высказываниями.

В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями. Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием.

Например, предложение «Это предложение является ложным» не является высказыванием, так как относительно него нельзя сказать, истинно оно или ложно, без того чтобы не получить противоречие. Действительно, если принять, что предложение истинно, то это противоречит сказанному. Если же принять, что предложение ложно, то отсюда следует, что оно истинно.

Относительно предложения «Компьютерная графика — самая интересная тема в курсе школьной информатики» также нельзя однозначно сказать, истинно оно или ложно. Подумайте сами почему.

1.3.1. Высказывание (окончание)

Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются.

Например, не являются высказываниями такие предложения, как: «Запишите домашнее задание», «Как пройти в библиотеку?», «Кто к нам пришёл?».

Высказывания могут строиться с использованием знаков различных формальных языков — математики, физики, химии и т. п.

Примерами высказываний могут служить:

1) «Na — металл» (истинное высказывание);

2) «Второй закон Ньютона выражается формулой
F = m • a» (истинное высказывание);

3) «Периметр прямоугольника с длинами сторон а и b равен
а • b» (ложное высказывание).

Не являются высказываниями числовые выражения, но из двух числовых выражений можно составить высказывание, соединив их знаками равенства или неравенства. Например:

1) «3 + 5 = 2 4» (истинное высказывание);

2) «II + VI > VIII» (ложное высказывание).

Не являются высказываниями и равенства или неравенства, содержащие переменные. Например, предложение «X

Источник

1.3.1. Высказывание

Алгебра в широком смысле этого слова — наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над разнообразными математическими объектами. Многие математические объекты (целые и рациональные числа, многочлены, векторы, множества) вы изучаете в школьном курсе алгебры, где знакомитесь с такими разделами математики, как алгебра чисел, алгебра многочленов, алгебра множеств и т. д.

Для информатики важен раздел математики, называемый алгеброй логики; объектами алгебры логики являются высказывания.

Высказывание — это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.

Например, относительно предложений «Великий русский учёный М. В. Ломоносов родился в 1711 году» и «Two plus six is eight» можно однозначно сказать, что они истинны. Предложение «Зимой воробьи впадают в спячку» ложно. Следовательно, эти предложения являются высказываниями.

В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями. Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием.

Например, предложение «Это предложение является ложным» не является высказыванием, так как относительно него нельзя сказать, истинно оно или ложно, без того чтобы не получить противоречие. Действительно, если принять, что предложение истинно, то это противоречит сказанному. Если же принять, что предложение ложно, то отсюда следует, что оно истинно.

Относительно предложения «Компьютерная графика — самая интересная тема в курсе школьной информатики» также нельзя однозначно сказать, истинно оно или ложно. Подумайте сами почему.

Источник

Решение задания 2 ОГЭ по информатике. Значение логического выражения

В задании №2 ОГЭ по информатике присутствуют вроде понятные, но одновременно странные слова типа НЕ, ИЛИ, И.

Для какого из приведённых чисел ложно высказывание:

НЕ (число > 50) ИЛИ (число чётное)?

По сути решение этого задание очень простое! Серьезно. Нужно только разобраться что это за буквы и как с ними работать, а для этого необходимо вспомнить алгебру логики. Объектами алгебры логики являются высказывания. Можно конечно и не вспоминать, а сразу перейти к решению, но я вам этого не советую

Высказывание — это предложение на любом языке, содержание кото­рого можно однозначно определить как истинное или ложное.

Примерами высказываний могут служить:

Конъюнкция

Рассмотрим два высказывания: А = «Основоположником алгебры логики является Джордж Буль», В = «Исследования Клода Шенно­на позволили применить алгебру логики в вычислительной техни­ке». Очевидно, новое высказывание «Основоположником алгебры логики является Джордж Буль, и исследования Клода Шеннона по­зволили применить алгебру логики в вычислительной технике» ис­тинно только в том случае, когда одновременно истинны оба исход­ных высказывания. Самостоятельно установите истинность или ложность трёх рассмотрен­ных высказываний.

Конъюнкция — логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

В таблице истинности перечисляются все возможные значения ис­ходных высказываний (столбцы А и В), причём соответствующие им двоичные числа, как правило, располагают в порядке возрастания: 00, 01, 10, 11. В последнем столбце записан результат выполнения логической операции для соответствующих операндов.

Дизъюнкция

Рассмотрим два высказывания: А = «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу», В = «Лейбниц является основоположником бинарной арифметики». Очевидно, новое высказывание «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу или Лейбниц является основоположником би­нарной арифметики» ложно только в том случае, когда одновремен­но ложны оба исходных высказывания.

Самостоятельно установите истинность или ложность трёх рассмотрен­ных высказываний.

Дизъюнкция — логическая операция, которая каждым двум высказыва­ниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.

Для записи дизъюнкции используются следующие знаки: v, |, ИЛИ, +. (Например: АvВ, А|В, А ИЛИ В, А+В). Дизъюнкция определяется следующей таблицей истинности:

Иначе дизъюнкцию называют логическим сложением.

Инверсия

Инверсия — логическая операция, которая каждому высказыванию ста­вит в соответствие новое высказывание, значение которого противопо­ложно исходному.

Инверсия определяется следующей таблицей истинности:

Инверсию иначе называют логическим отрицанием.

Решение задания №2 ОГЭ по информатике:

Вариант 1

НЕ (число > 50) ИЛИ (число чётное)?

В условии задачи ми имеем логическую операцию ИЛИ, а значит (из определения) ложно оно может быть только в одном случае: когда левая и правая часть ложны

ОТВЕТ: Из представленных вариантов выбираем тот в котором число больше 50 и обязательно НЕЧЕТНОЕ.

Вариант 2

В условии задачи ми имеем логическую операцию И, а значит (из определения) истино оно может быть только в одном случае: когда левая и правая часть истины

(X ИСТИНА (1). Т.е Х реально меньше 7.

ОТВЕТ: Из представленных вариантов выбираем тот в котором число меньше 7 и одновременно больше или равно 6. Этому условию удовлетворяет только одно целое число 6 .

Источник